Funciones

Funciones

Si viajamos durante cierto tiempo a una velocidad constante, sabemos que distancia = velocidad × tiempo. Entonces, si viajamos a 55 millas por hora durante t horas,

D = 55t,                                                                                                

donde t es el tiempo y D es la distancia viajada.

La ecuación (2.2.1) define una función. Una función asigna a cada miembro de un conjunto X exactamente un miembro de un conjunto Y. (Los conjuntos X y Y pueden o no ser el mismo.) La función definida por (2.2.1) asigna a cada número real no negativo t el valor 55t. Por ejemplo, el número t   1 se asigna al valor 55; el número t    3.45 se asig-   na al valor 189.75; etcétera. Estas asignaciones se pueden representar como pares ordena- dos: (1, 55), (3.45, 189.75). Formalmente, se define una función como un tipo especial de conjunto de pares ordenados.

∈                                                                              →

Sean X y Y dos conjuntos. Una función f de X a Y es un subconjunto del producto cartesia- no X   Y que tiene la propiedad de que para cada x    X, existe exactamente una y    Y con (x, y) f. En ocasiones denotamos una función f de X a Y como f: X Y.

El conjunto X se llama el dominio de f. El conjunto

{y | (x, y) ∈ f} (que es un subconjunto de Y) se llama el rango de f.

El dominio de la función definida por (2.2.1) es el conjunto de todos los números reales no negativos. (Se supone que el tiempo está restringido a números reales no negativos). El ran- go también es igual al conjunto de todos los números reales no negativos.

El conjunto f = {(1, a), (2, b), (3, a)} es una función de X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c}. A cada elemento de X se asigna un valor único en Y: 1 se asigna al valor único a; 2 se asigna al valor único b; y 3 se asigna al valor único a. Se puede describir la situación como se ve en la figura 2.2.1, donde una flecha de j a x significa que se asigna la letra x al entero j. Un dibujo como el de la figura 2.2.1 se llama diagrama de flechas. Para que un diagrama de flechas sea una función, la definición 2.2.1 requiere que haya justo una flecha desde cada elemento del dominio. Observe que la figura 2.2.1 tiene esta propiedad. La definición 2.2.1 permite volver a usar los elementos de Y. Para la función f, el elemento a en Y se usa dos veces. Más aún, la definición 2.2.1 no requiere que todos los  

elementos en Y se usen. Ningún elemento de X se asignó al elemento c de Y. El dominio de

f es X y el rango de f es {a, b}. 

El conjunto {(1, a), (2, a), (3, b)} (2.2.2) no es una función de X = {1, 2, 3, 4} a Y = {a, b, c} porque el elemento 4 en X no está asignado a un elemento en Y. También es claro, a partir del diagrama de flechas (figura 2.2.2), que este conjunto no es una función porque no hay flecha desde el 4. El conjunto (2.2.2) es una función de X’= {1, 2, 3} a Y = {a, b, c}.

El conjunto

no es una función de X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c} porque 1 no está asignado a un elemento único en Y (1 está asignado a los valores a y b). También es claro, a partir del diagrama de flechas (figura 2.2.3), que este conjunto no es una función porque salen dos flechas de 1. Dada una función f de X a Y, de acuerdo con la definición 2.2.1, para cada elemento x del dominio X, hay exactamente una y ∈ Y con (x, y) ∈ f. Este valor único y se denota por f(x). En otras palabras, f(x) = y es otra manera de escribir (x, y) ∈ f

el conjunto

{(1, a), (2, b), (3, c), (1, b)}

=                 =

no es una función de X    {1, 2, 3} a Y    {a, b, c} porque 1 no está asignado a un elemen- to único en Y (1 está asignado a los valores a y b). También es claro, a partir del diagra- ma de flechas (figura 2.2.3), que este conjunto no es una función porque salen dos flechas de 1.

Dada una función f de X a Y, de acuerdo con la definición 2.2.1, para cada elemento x del dominio X, hay exactamente una y ∈ Y con (x, y) ∈ f. Este valor único y se denota por f(x). En otras palabras, f(x) = y es otra manera de escribir (x, y) ∈ f.

Para la función f del ejemplo 2.2.3, se escribe

f (1) = a,      f (2) = b,      f (3) = a.

El siguiente ejemplo muestra cómo a veces se usa la notación f(x) para definir una función.

Sea f una función definida por la regla

Por ejemplo,

f (x) = x2.

f (2) = 4,   f (−3.5) = 12.25,   f (0) = 0.

Aunque con frecuencia encontramos funciones definidas de esta manera, la definición está incompleta, pues el dominio no está especificado. Si se dice que el dominio es el conjunto de todos los números reales, en la notación de pares ordenados se tendría

f = {(x, x2) | x es un número real}.

El rango de f es el conjunto de todos los números reales no negativos.

La mayoría de las calculadoras tienen una tecla 1/x. Si se introduce un número y se opri- me la tecla 1/x, se despliega el recíproco del número introducido (o una aproximación de él). Esta función se define por la regla

R(x )=__1 .

x

El dominio es el conjunto de todos los números que se pueden introducir en la calculadora y cuyo recíproco se pueda calcular y desplegar en ella. El rango es el conjunto de todos los recíprocos que se pueden calcular y desplegar. Observe que por la naturaleza de la calcula- dora, el dominio y el rango son conjuntos finitos.

Otra manera de visualizar una función es dibujar su gráfica. La gráfica de una fun- ción f cuyo dominio y rango son subconjuntos de los números reales se obtiene trazando puntos en el plano que corresponden a los elementos en f. El dominio está contenido en el eje horizontal y el rango en el eje vertical.