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La teoría de números es una rama de las matemáticas que se ocupa de los números enteros. Por tradición, la teoría de números era una rama de las matemáticas puras, conocida por su naturaleza abstracta más que por sus aplicaciones. El gran matemático inglés G. H. Hardy (1877-1947) usó la teoría de números como ejemplo de una rama de las matemáticas bella pero impráctica. Sin embargo, a finales del siglo XX, la teoría de números ha adquirido una gran importancia en los sistemas criptográficos, esto es, sistemas que se usan para la seguridad en las comunicaciones. En los capítulos anteriores, se usaron algunas definiciones básicas de la teoría de números como “divide” y “número primo”. En la sección 5.1 se repasarán estas definiciones básicas y se ampliará el estudio a factorización única, máximo común divisor y mínimo común múltiplo. En la sección 5.2 se analizarán las representaciones de los números enteros y algunos algoritmos para la aritmética entera. El algoritmo euclidiano pa

Considere las siguientes instrucciones para generar una sucesión: 1. Iniciar con 5 Dado cualquier término, sume 3 para obtener el siguiente. Si se listan los términos de la sucesión, se obtiene 5,   8,   11,   14,   17,   . . . . (7.1.1)   El primer término es 5 por la instrucción 1. El segundo término es 8 porque la instrucción 2 dice que se sume 3 a 5 para obtener el siguiente término. El tercer término es 11 porque la instrucción 2 dice que se sume 3 a 8 para obtener el siguiente término. Si se siguen las instrucciones 1 y 2, se puede calcular cualquier término de la sucesión.   Las instrucciones 1 y 2 no dan una fórmula explícita para el n-ésimo término de la sucesión en el sentido de proporcionar una fórmula en la que se pueda “sustituir n” para obtener el valor del n-ésimo término, sino que al calcular término por término en algún momento se podrá obtener cualquier término de la sucesión. Si la sucesión (7.1.1) se denota por a1, a2, . . . , se puede enunciar

En muchos problemas discretos nos enfrentamos al problema de contar. Por ejemplo, en la sección 4.3 se vio que para estimar el tiempo de corrida de un algoritmo, era necesario contar el número de veces que se ejecutaban ciertos pasos o ciclos. Contar, también tiene un papel crucial en la teoría de probabilidad. En virtud de la importancia del conteo, se ha desarrollado una variedad de ayudas útiles, algunas bastante elaboradas. En este capítulo se desarrollan varias técnicas para contar. Dichas técnicas resultan útiles para derivar el teorema del binomio. El capítulo concluye con un análisis del principio del palomar, que con frecuencia permite probar la existencia de un objeto con ciertas propiedades El menú de Comida Rápida de Kay se muestra en la figura 6.1.1. Como se observa, contiene dos entremeses, tres platos fuertes y cuatro bebidas. ¿Cuántas comidas diferentes están formadas por un plato fuerte y una bebida? Si se listan todas las comidas posibles que consisten en un

El sistema criptográfico de llave pública RSA La criptologíaes el estudio de los sistemasllamados   criptográficoso criptosistemas, para las comunicaciones seguras. En un sistema criptográfico, el remitente transforma el mensaje antes de trasmitirlo, con la esperanza de que sólo los receptores autorizados puedan reconstruir el mensaje original (es decir, el mensaje antes de transformarlo). Se dice que el remitente envía un mensaje cifrado o encriptado, en tanto que el receptor descifra o desencripta el mensaje. Si el sistema criptográfico es seguro, las personas no autorizadas no podrán descubrir la técnica para encriptar, de manera que si leen el mensaje cifrado, no podrán descifrarlo. Los sistemas criptográficos son importantes para las grandes organizaciones (por ejemplo, el gobierno y la milicia), los negocios basados en Internet y los individuos. Por ejemplo, si se envía el número de una tarjeta de crédito por Internet, es importante que sólo el receptor al que se dirige pu

Funciones Si viajamos durante cierto tiempo a una velocidad constante, sabemos que distancia = velocidad × tiempo. Entonces, si viajamos a 55 millas por hora durante t horas, D = 55 t ,                                                                                                  donde t es el tiempo y D es la distancia viajada. La ecuación (2.2.1) define una función. Una función asigna a cada miembro de un conjunto X exactamente un miembro de un conjunto Y . (Los conjuntos X y Y pueden o no ser el mismo.) La función definida por (2.2.1) asigna a cada número real no negativo t el valor 55 t . Por ejemplo, el número t    1 se asigna al valor 55; el número t     3.45 se asig-    na al valor 189.75; etcétera. Estas asignaciones se pueden representar como pares ordena- dos: (1, 55), (3.45, 189.75). Formalmente, se define una función como un tipo especial de conjunto de pares ordenados. ∈       

Un algoritmo es un método paso a paso para resolver algunos problemas. Los enfoques   de este   tipo   para   resolver   problemas   no   son   novedad;   de   hecho,   la   palabra   “algoritmo”   se   deriva de l   nombr e   de l   matemátic o   pers a   de l   sigl o   IX ,   al-Khow a ¯ rizm i .   E n   l a   actualidad ,   “algoritmo”  suele   referirse   a   una   solución   ejecutable   por   una   computadora.   En   este   libro,   la   preocupación  principal   será   que   se   pueda   ejecutar   en   una   computadora   “tradicional”,   es   decir,   una   compu-  tadora   personal,   con   un   solo   procesador   que   ejecute   instrucciones   paso   a   paso. Después de introducir los algoritmos y proporcionar varios ejemplos, nos dedicare- mos al análisis de los algoritmos, es decir, al tiempo y espacio requeridos para ejecutarlos. Concluiremos con un examen de los algoritmos recursivos, los que se refieren o recurren a sí mismos. Por lo general, los alg